线性代数:矩阵&矩阵计算

矩阵本身的理解:

  •  矩阵本身包含基变换,每一列都是从V到W的空间变换:https://www.zhihu.com/question/22218306/answer/88697757

 

单位矩阵(I)

初等矩阵:I经过三种不同的变化

酉矩阵:n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。酉矩阵又称为幺正矩阵。充要条件是:方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵,则U是酉矩阵。

共轭转置:在实数域,等价于转置;在复数域,是转置后对每个元素取复共轭。

正交矩阵:实数域的酉矩阵

 

对称矩阵 对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

若尔当标准型:

 

协方差矩阵

正定矩阵,半正定矩阵:

特征值分解

奇异值分解

行列式

相似矩阵

 

矩阵乘法直观理解

– 公交车模型(基变换 or 运动):https://www.zhihu.com/question/21351965

 

 

ref: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%88%86%E8%A7%A3

矩阵乘法理解
Av:
– 向量空间角度:以A (mxn, m行n列),每列为空间基A[:0], A[:1], …, A[:n],v(n维向量)则是对n个基进行线性组合
– 线性变换角度:以A每一行为向量A[0:], A[1:], …, A[m:], 则每一个向量都是对v的一个操作

-错误理解:换空间基:以A每一行为向量,构成一组空间基,则A[i:]v 是v在A[i:]这个基上的投影长度:这是错误的

特例:
MB:
– 视A每列为一组基,如果B是对角矩阵,则AB是对这组基分别进行扩大和缩小,另外形成一个空间
– 线性变换:M有m组操作(行),B有k个输入(列),所以结果应该是对每一个操作,每一个输入都有一个结构,构成mxk结果

正交矩阵

特征值分解的运动方式理解:https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044

特征值:wiki
特征向量:wiki

QR分解:wiki
特征分解:wiki
奇异值分解:wiki

ref:

– 知乎:如果直观理解线性代数

– https://yjango.gitbooks.io/superorganism/content/xian_xing_dai_shu.html

Determining Optical Flow

paper link: http://www.caam.rice.edu/~zhang/caam699/opt-flow/horn81.pdf
这篇1981年发表的文章是CV中众多optical flow文章的起始工作,我花了三天时间自习阅读该文章,亦可称的上是我读CV文章的起源。

文章贡献:
提出一种计算光流的方法

文章思路:
一个点的亮度信息E(x,y,t)不足以计算光流,因为光流是二维的向量,亮度只有一维。文章通过一系列假设的条件,引入两个约束:
– 一个点的亮度在时间维度不变:E对x,y,t的偏倒之和为0
– 一个刚体内部相邻点光流平滑过渡:u, v对x,y 偏倒之和最小

具体方案
– 以上两个约束虽然可以求解,但是计算量很大
– 使用迭代的方法来求解有效降低计算量

后续
后续光流又提出很多算法,参考:http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8683859